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2019
07

已知对任意的x∈R,3a(sinx+cosx)+2bsin2x≤3(a,b∈R)恒成立,则当a+b取得最小值时,a的值是.

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问题描述:

已知对任意的x∈R,3a(sinx+cosx)+2bsin2x≤3(a,b∈R)恒成立,则当a+b取得最小值时,a的值是___.

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由题意可令sinx+cosx=-
1
2

两边平方可得1+2sinxcosx=
1
4

即有sin2x=-
3
4

代入3a(sinx+cosx)+2bsin2x≤3,可得-
3
2
a-
3
2
b≤3,
可得a+b≥-2,
当a+b=-2时,令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)∈[-
2
2
],
即有sin2x=t2-1,代入3a(sinx+cosx)+2bsin2x≤3,
可得-2bt2+3(2+b)t+3+2b≥0,对t∈[-
2
2
]恒成立,
则△=9(2+b)2+8b(3+2b)≤0,
即为(5b+6)2≤0,但(5b+6)2≥0,则5b+6=0,可得b=-
6
5
,a=-
4
5

而当b=-
6
5
,a=-
4
5
时,3a(sinx+cosx)+2bsin2x=-
12
5
t-
12
5
(t2-1)
=-
12
5
(t+
1
2
)2+3≤3.
所以当a+b取得最小值-2,此时a=-
4
5

故bte365地址验证15分钟_bte365备用网址_bte365欧洲为:-
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