25
2019
04

已知直线L:y=4x和P(6,4),在直线L上求一点Q,使.已知直线L:y=4x和P(6,4),在直线L上求一点Q,使过PQ的直线与直线L及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小GUOCHENG

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问题描述:

已知直线L:y=4x和P(6,4),在直线L上求一点Q,使.
已知直线L:y=4x和P(6,4),在直线L上求一点Q,使过PQ的直线与直线L及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小
GUOCHENG

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设Q点坐标为(q,4q);则直线PQ方程为
y-4=(4q-4)(x-6)/(q-6),
令y=0,得到
-4=(4q-4)(x-6)/(q-6),
-1=(q-1)(x-6)/(q-6);
x=6-(q-6)/(q-1)=5q/(q-1);
此即为它于X轴的焦点的横坐标;
所以所围三角形的底长5q/(q-1),高为4q;
面积为20q^2/[2(q-1)]=10q^2/(q-1)
只需要知道f(q)=q^2/(q-1)当何时取最小,对f(q)求导数得到
f'(q)=(2q(q-1)-q^2)/(q-1)^2
=(q^2-2q)/(q-1)^2
令f'(q)=0得到 q=2或0(舍去,因为此时Q为原点,不能围成三角形)
所以q=2,Q=(2,8)

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